Dérivabilité et primitives

Maths dérivabitilité et primitives
Bourama DIEME

Bourama DIEME

Mr Bourama Diémé est titulaire d’un Master en Algèbre et applications obtenu à l’Université Gaston Berger de Saint Louis du Sénégal. Il intervient dans les cours de renforcements en Mathématiques pour les élèves de la 3 ième à la Terminale, toutes séries confondues.

Mathématiques

Terminales S2

Objectifs

A la fin de ce chapitre :

  • l’élève doit être en mesure de calculer une dérivée et une primitive ;
  • l’élève doit pouvoir démontrer qu’une fonction est croissante, décroissante ;
  • l’élève doit pouvoir démontrer que l’équation f(x) = y admet une solution unique ;
  • l’élève doit pouvoir démontrer qu’une fonction est bijective, de montrer l’existence de la bijection réciproque ;
  • l’élève doit pouvoir démontrer l’existence d’une primitive ;
  • l’élève doit pouvoir utiliser la dérivée d’une fonction pour tracer son tableau de variation et pour tracer aussi une tangente à la courbe d’une fonction en un point ;
  • l’élève doit pouvoir utiliser le théorème des accroissements finis, le théorème de la bijection, les théorèmes généraux la continuité et dérivabilité ;
  • l’élève doit pouvoir déterminer une primitive et une dérivée en un point.

I. Dérivabilité

Rappel sur les polynômes

Une fonction polynôme est dérivable sur ℝ et sa dérivée est la somme des dérivés de ses monômes

Exemple:

Rappel sur les rationnelles

Une fonction rationnelle est dérivable sur son et sa dérivée est sous la forme

Exemple:

Rappel sur les racines carrées

Une fonction polynôme est dérivable sur ℝ+ et sa dérivée est sous la forme

Exemple:

fonction-polynôme-racines-carrés

II. Dérivabilité en un point

Soit a, b et c des nombres réels, f une fonction définie sur un intervalle I et un élément de I.

Définition

f est dérivable en   ; a est appelé nombre dérivé de f en et est noté

L’équation de la tangente

Remarque

f ’ le nombre dérivé de f en x0 est le coefficient directeur de la tangente.
Si f ’ = 0 alors la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
Pour obtenir l’équation de la demi-tangente en , on remplace f ’() dans l’équation ci-dessus par fg’() ou fd’().

Image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone

Soit a et b des nombres réels ou + ∞ ou – ∞. Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors le tableau suivant donne f(I), l’image de I par f.

If( I )f( I )
If est strictement croissantef est strictement décroissante
[a ; b][f(a) ; f(b)][f(b) ; f(a)]
[a ; b[[f(a) ;  []  ; f(a)]

Conséquence du Théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue sur un intervalle [a ; b] et si f(a)f(b) ≤ 0, alors l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution appartenant à [a ;b].
Si f est monotone sur [a ;b] alors la solution est unique.

Exemple:

L’image de [1 ;2] par fonction f(x) = 2x+1
On a f est croissante sur [1 ;2] alors f([1 ;2])=[f(1) ;f(2)]=[3 ;5]

Sur l’unicité de solution sur [0 ;1]

f(x) = 2x-1
on a f est continue sur [0 ;1] et f(0)f(1) = -1< 0 alors f admet une solution en plus f’(x) = 2 ≥ 0 alors f est croissante alors la solution est unique.

Théorème

Toute fonction continue admet une primitive

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